Trong bài viết dưới đây Thuonghieuviet mời bạn cùng theo dõi và tìm hiểu cách giải bất phương trình lớp 9.
Giới thiệu về bất phương trình
Bất phương trình là một biểu thức toán học chứa ít nhất một biến số và có dấu so sánh khác dấu bằng. Ví dụ: x + 2 > 0, x^2 – 5x + 6 < 0, sin x >= -1. Nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị của biến số thỏa mãn biểu thức đó. Ví dụ: nghiệm của bất phương trình x + 2 > 0 là tập hợp các số thực x > -2.
Bất phương trình là một chủ đề quan trọng trong toán học, vì nó liên quan đến nhiều bài toán thực tế trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế và các lĩnh vực khác. Bất phương trình cũng là một tiền đề cho việc học các chủ đề cao hơn như hàm số, giới hạn, liên tục, đạo hàm và tích phân.
Trong chương trình toán học lớp 9, các em sẽ được học về các loại bất phương trình sau:
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc hai một ẩn
- Bất phương trình luỹ thừa
- Bất phương trình căn
- Bất phương trình thức lượng giác
Phương pháp Tìm Tập Nghiệm Của Bất Phương Trình
- Đối với giải bất phương trình hoặc giải hệ phương trình: Nghĩa là ta thực hiện tìm các tập nghiệm thông qua biến đổi tương đương. Và khi có tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình đó vô nghiệm.
- Đối với giải bất phương trình chứa tham số: Nghĩa là cũng biến đổi tương đương rồi xét xem. Với các giá trị nào của tham số mà bất phương trình đó vô nghiệm hay có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
- Đối với giải một hệ bất phương trình: Nghĩa là ta giải từng bất phương trình rồi như công thức ở trên rồi lấy giá trị giao của các tập nghiệm.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất một ẩn là một biểu thức có dạng:
ax + b < c (hoặc <=, >, >=)
Trong đó a, b, c là các số thực cho trước và a khác 0. Biến số x được gọi là ẩn số của bất phương trình.
Cách giải
Để giải một bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta có thể sử dụng các phép biến đổi sau:
- Cộng (hoặc trừ) cùng một số (hoặc biểu thức) vào hai vế của bất phương trình
- Nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình cho một số (hoặc biểu thức) khác không
- Đổi dấu hai vế của bất phương trình và đồng thời đổi dấu so sánh
- Rút gọn hai vế của bất phương trình
Lưu ý: Khi nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình cho một số âm, ta phải đổi dấu so sánh.
Sau khi biến đổi, ta thu được một biểu thức có dạng:
x < d (hoặc <=, >, >=)
Trong đó d là một số thực. Nghiệm của bất phương trình là tập hợp các số thực x thỏa mãn biểu thức này.
Ví dụ
Giải bất phương trình:
3x – 5 > 7
Ta có thể biến đổi như sau:
3x – 5 > 7
3x > 7 + 5
3x > 12
x > 12/3
x > 4
Nghiệm của bất phương trình là tập hợp các số thực x > 4.
Bất phương trình bậc hai một ẩn
Định nghĩa
Bất phương trình bậc hai một ẩn là một biểu thức có dạng:
ax^2 + bx + c < d (hoặc <=, >, >=)
Trong đó a, b, c, d là các số thực cho trước và a khác 0. Biến số x được gọi là ẩn số của bất phương trình.
Cách giải
Để giải một bất phương trình bậc hai một ẩn, ta có thể sử dụng các bước sau:
- Chuyển vế d về vế trái của bất phương trình, ta được một biểu thức có dạng:
ax^2 + bx + c – d < 0 (hoặc <=, >, >=)
- Tìm nghiệm của phương trình bậc hai ax^2 + bx + c – d = 0 bằng công thức nghiệm hoặc phương pháp đối xứng trục. Gọi hai nghiệm là x1 và x2 (x1 <= x2).
- Xét dấu của hệ số a để xác định dấu của biểu thức ax^2 + bx + c – d tại các khoảng (-vô cùng, x1), (x1, x2) và (x2, +vô cùng).
- Từ dấu so sánh của bất phương trình, suy ra nghiệm của bất phương trình là một trong các khoảng đã xét.
Ví dụ
Giải bất phương trình:
x^2 – 3x – 4 < 0
Ta có thể giải như sau:
- Chuyển vế 0 về vế trái, ta được:
x^2 – 3x – 4 < 0
- Tìm nghiệm của phương trình bậc hai x^2 – 3x – 4 = 0 bằng công thức nghiệm:
x = (-b ± sqrt(b^2 – 4ac))/(2a)
x = (-(-3) ± sqrt((-3)^2 – 41(-4)))/(2*1)
x = (3 ± sqrt(25))/2
x = (3 ± 5)/2
x = -1 hoặc x = 4
Gọi x1 = -1 và x2 = 4.
- Xét dấu của hệ số a = 1. Vì a > 0, nên đồ thị hàm số y = x^2 – 3x – 4 có dạng parabol lên. Do đó, biểu thức x^2 – 3x – 4 có dấu âm khi x thuộc khoảng (x1, x2), tức là (-1, 4).
- Vì bất phương trình có dấu so sánh <, nên nghiệm của bất phương trình là tập hợp các số thực x thuộc khoảng (-1, 4).
Bất phương trình luỹ thừa
Định nghĩa
Bất phương trình luỹ thừa là một biểu thức có dạng:
a^x < b (hoặc <=, >, >=)
Trong đó a, b là các số thực cho trước và a khác không. Biến số x được gọi là ẩn số của bất phương trình.
Để giải một bất phương trình luỹ thừa, ta cần xét điều kiện tồn tại của bất phương trình, sử dụng hàm số logarit để biến đổi bất phương trình về dạng đơn giản hơn, và tìm nghiệm của bất phương trình theo dấu so sánh.
Ví dụ:
Giải bất phương trình:
2^x – 3 > 5
Ta có thể giải như sau:
- Xét điều kiện tồn tại của bất phương trình. Vì 2^x – 3 luôn xác định với mọi x thuộc R, nên không cần xét điều kiện tồn tại.
- Sử dụng hàm số logarit để biến đổi bất phương trình về dạng đơn giản hơn. Ta có:
2^x – 3 > 5
2^x > 5 + 3
2^x > 8
log_2(2^x) > log_2(8)
x > log_2(8)
x > 3
- Từ dấu so sánh của bất phương trình, suy ra nghiệm của bất phương trình là tập hợp các số thực x > 3.
Trên đây là các thông tin tổng quan về hệ thống các lý thuyết và công thức quan trọng cần nhớ của bất phương trình, đồng thời, hướng dẫn bạn thực hiện chi tiết Cách Giải Bất Phương Trình Lớp 9.
Thuonghieuviet hy vọng những thông tin hữu ích trên có thể giúp bạn hiểu và biết cách vận dụng kiến thức đã học vào các bài tập liên quan sau này.